Геометрические построения

При начале изучения геометрии достаточно много внимания уделяется формированию навыков учащихся производить грамотные построения различных фигур. Геометрические построения – важный этап изучения предмета. В данной статье мы приведем примеры навыков, которыми должны владеть учащиеся 7-8 класса средних школ.

Геометрические построения на плоскости

При выполнении всех задач, требующих изображения геометрических фигур, используются следующие инструменты:

• Транспортир.
• Циркуль.
• Линейка.
• Набор треугольников.

Для построения геометрических фигур инструменты используются так:

• Линейка позволяет произвести построение отрезка определенной длины. Ею также можно провести прямую на плоскости.
• Транспортир применяется для построения углов.
• Циркуль позволяет провести дугу, окружность и отложить отрезок заданной длины.
• Геометрические построения параллельных и перпендикулярных прямых выполняются с помощью треугольников.

Какие бывают построения

В общем случае при изучении геометрии учащимся требуется при решении задач использовать наглядные рисунки. Также построения могут быть также отражением решения задачи или иллюстрировать ее условие.
На вводных занятиях к курсу геометрии на уроках рассматриваются основные геометрические построения, к которым относятся:
• Прямая.
• Треугольник.
• Прямоугольник.
• Угол.
• Луч.

Для построения прямой достаточно провести на плоскости линию, пользуясь только линейкой.
Если прямую необходимо провести через две произвольные точки, то для этого также достаточно обозначить точки на плоскости, и затем провести через них прямую при помощи линейки.

Как построить заданный угол

Общий алгоритм выполнения такой работы выглядит следующим образом:

1. На плоскости проводится произвольная прямая.
2. На ней отмечается точка, которая будет центром построения, — допустим, О.
3. К этой точке прикладывается транспортир, на котором отмечается угол нужного размера. Он фиксируется точкой, к примеру, В.
4. Далее точка А и точка В соединяются между собой отрезком.
5. Угол, получившийся между прямой и построенным отрезком, является искомым углом.

Геометрические построения: как построить треугольник

Чаще всего в решении задач используются треугольники. В этом отношении их можно назвать наиболее интересными геометрическими фигурами. Самые простые построения, которые с ними связаны, включают изображение с заданными сторонами.
Если у треугольника заданы размеры сторон, то их откладывают на плоскости следующим образом:

• Проводят произвольную прямую.
• На ней отмечают точку А, которая будет центром построения.
• Далее циркулем на линейке снимаем нужное расстояние, равное одной из сторон, которые необходимо построить и откладываем его на прямой от точки А. Полученную таким образом точку назовем В.
• Циркулем снимаем с линейки расстояние второй стороны и откладываем его, путем рисования дуги на свободном пространстве по одной из сторон прямой, на которой отложены точки А и В, от точки А.
• Затем снимаем циркулем на линейке расстояние, равное третьей стороне, которую нужно отложить и откладываем его путем рисования дуги, до пересечения с первой дугой. В точке пересечения двух дуг отмечаем точку С.

Построение биссектрисы угла

Чтобы выполнить построение биссектрисы угла, нужно

Отложить из центра вершины угла (точки А) окружность произвольного радиуса. Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим как В и С.

Затем при помощи циркуля из полученных точек откладываем такого же размера дуги. В точке пересечения дуг отметим точку D.

Соединим точку А с точкой D.
Полученный отрезок – биссектриса угла АВС.

Геометрические построения: перпендикуляр к отрезку

Чтобы отложить серединный перпендикуляр к отрезку АВ, необходимо использовать циркуль. Произвольным раствором циркуля по обе стороны отрезка проводятся дуги, которые откладываются из каждой точки – А и В.
Пересечение дуг с каждой стороны отрезка образует точки С и D. Если соединить эти точки, то получим перпендикуляр к отрезку А и В.
Таким же образом можно построить середину отрезка А и В.

Проведение перпендикулярной прямой

Существует два случая:

1. Точка О, через которую надо провести перпендикуляр, находится на прямой.
2. Точка О, через которую надо провести перпендикуляр находится вне прямой.
   В первом случае необходимо из точки о отложить произвольным радиусом две окружности, которые пересекут прямую в точках А и В. Далее из каждой из полученных точек нужно провести окружность радиусом, равным расстоянию между А и В. Из точки С пересечения данных окружностей опускаем на прямую перпендикуляр в точку О, находящуюся на прямой между А и В.
   Треугольник АСВ – равнобедренный, поэтому СО – его высота.

О правилах быстрого счета читайте здесь.